Superficies Cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Definición (superficies cuadráticas) | |
La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables![]() |
Observación: en la ecuación de segundo grado
deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos
,
y
, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso





La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en
),
y
.La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.




Figura 1. Elipsoide

La gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales
son elipse :


Sus trazas sobre planos verticales, ya sean
o
son parábola.



Figura 2. Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales
son hipérbolas o dos rectas (
). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano
son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano
son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.





Figura 3. Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales
son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4.


Figura 4. Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales
son elipses


Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales
son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).


Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
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