jueves, 2 de junio de 2016

Clase #14

Límites

Escribimos

    lim
    xa
    f(x)=L
    El límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L
        o igualmente
    f(x) → L cuando x → a
para decir que f(x) se acerca a el número L a medida que x se acerca a (pero no está igual a) el número a desde ambos lados.
Una manera más precisa a formular la definición es como sigue:
Se puede hacer que f(x) sea tan cercana a L como queremos si hacemos que x se acerque lo suficiente a a.

    lim
    xa+
    f(x)=L
    o
    f(x) → L cuando x → a+
y

    lim
    xa-
    f(x)=L
    o
    f(x) → L cuando x → a-
para significar que f(x) → L cuando x se acerca a a por la derecha (o por arriba), o por la izquierda (o por abajo), respectivamente. Para que limx → a f(x) existe, es necesario que los límites por la izquierda y la derecha existen y ser iguales.
Escribimos

    lim
    x→+∞
    f(x)=L
y

    lim
    x→-∞
    f(x)=L
para significar que f(x) → L cuando x sea arbitrariamente grande, o que sea un número negativo arbitrariamente grande, respectivamente.

Funciones Continuas

Una función f es continua a a si limx → a f(x) existe, y es igual a f(a).
La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. El enfoque algebraico a límites es basado en el hecho que todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios.

Ejemplo:

La función f(x) = 3x2-4x+2 es de forma cerrada, y entonces continua a cada punto de su dominio (todos los números reales).
La función


    g(x)=
    4x2+1

    x - 3

es también de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (todas núeros reales excepto 3).

Por otro lado, la función

    h(x)=
    -1si-4 ≤ x < -1
    xsi-1 ≤ x ≤ 1
    x2-1si 1 < x ≤ 2 
no está de forma cerrada y en realidad es discontinua a x = 1.