martes, 14 de junio de 2016

Clase #18

Derivada Direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de $\,z\,$ en el punto $\,(x_{0},y_{0})\,$ en la dirección de un vector unitario arbitrario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$. Para esto consideramos la superficie $\,S\,$ con ecuación $\,z\, = \, f(x, y)\,$ (la gráfica de $\,f\,$) y sea $\,z_{0} = f(x_{0}, y_{0})\,$. Entonces el punto $\,P = (x_{0}, y_{0},z_{0})\,$ está sobre $\,S\,$. El plano vertical que pasa por el punto $\,P\,$en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,T\,$. La pendiente de la recta tangente $\,T\,$ a la curva $\,T\,$ en el punto$\,P\,$es la tasa de cambio de $\,z\,$en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$.


Figura 1: derivada direccional en P en la dirección de u


Si $\,Q = (x, y,z)\,$ es otro punto sobre la curva $\,T\,$, y si $\,P'\,$ y $\,Q'\,$ son las proyecciones sobre el plano $\,XY\,$de los vectores $\,P\,$ y $\,Q\,$, entonces el vector $\,\overrightarrow{P'Q'}\,$ es paralelo al vector $\,\overrightarrow{u}\,$, y por consiguiente
Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

\begin{displaymath}\overrightarrow{P'Q'}\, = \, h\overrightarrow{u}\, = \, (ha, hb)\end{displaymath}
para algún escalar$\,h\,$. Así pues, 
$\,x - x_{0}\, = \, ha\Longrightarrow x\, = \, x_{0} + ha\,$ 

$\,y - y_{0}\, = \, hb\Longrightarrow y\, = \, y_{0} + hb\,$ 

y la razón de cambio está dada por
\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\Delta z}{h}\, = \, \frac{z - z_{0}}{h}\, = \, \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\end{displaymath}

y al tomar el límite cunado $\,h\longrightarrow 0\,$obtenemos la tasa de cambio instantanea de$\,z\,$ (con respecto a la distancia) en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$, la cual se llama derivada direccional de$\,f\,$en la dirección de $\,\overline{u}\,$. 

 Definición  (derivada direccional)

Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\,$ una función escalar y sean $\,P = \ (x_{0}, y_{0})\in D\,$ y$\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ un vector unitario, entonces la derivada direccional de $\,f\,$ en$\,P = (x_{0}, y_{0})\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$, está dada por : 
\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(P) & = & D_{\overr... ...f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\\ \end{array}\end{displaymath}


Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si $\,\overrightarrow{u}\, = \, (1, 0)\,$ entonces $\,d_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{x}(P)\,$ y si$\,\overrightarrow{u}\, = \, (0, 1)D_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{y}(P)\,$, es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos.
Ejemplo 1  

Calcule la derivada direccional de $\,f(x, y)\, = \, 4 - x^{2} - y^{2}\,$en el punto $\,P\, = \, (1, 1)\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\, = \, \ \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\,$ 
Solución

Usando la definición (1), tenemos que : 

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(1, 1) & = &\displ... ...isplaystyle{\frac{h}{\sqrt{2}}}\right)^{2}}{h}}}\\ \end{array}\end{displaymath}

y usando la regla de L'Hôpital
\begin{displaymath}\displaystyle{\lim_{{h}{\rightarrow}{0}} \frac{-4\left(1 +\di... ...{1}{\ \sqrt{2}}}}\, = \, -\frac{4}{\sqrt{2}}\, = \, -2\sqrt{2}}\end{displaymath}


Esto nos dice que la razón de cambio de$\,z\,$en$\,P\,$en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$es $\,-2\sqrt{2}\,$, es decir, que$\,z\,$en esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situación.

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u
Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de$\,n\,$variables $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$. 
Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa la siguiente fórmula. 

 Teorema

Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ una función escalar diferenciable en$\,D\,$, entonces$\,f\,$tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ y 
\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\cdot \overrightarrow{u}\, = \, f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b\end{displaymath}
(2)


Observación:  recuerde que la componente de $\,\overrightarrow{v}\,$en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$es $\,\displaystyle{\frac{\overrightarrow{u}\cdot \ \overrightarrow{v}}{\vert \, u\, \vert}}\,$, la cual es la longitud de la proyección vectorial de $\,\overrightarrow{v}\,$sobre el vector unitario $\,\overrightarrow{u}\displaystyle{\left(Proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarro....   Con lo cual la fórmula 

\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\, \cdot\, \overrightarrow{u}\end{displaymath}
nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente $\,\nabla f(P)\,$en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$. 

Ejemplo 2  

Calcule la derivada direccional $\,D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\,$si 
\begin{displaymath}f(x, y)\, = \, x^{3} - 3xy + 4y^{2}\end{displaymath}
y $\,\overrightarrow{u}\,$es el vector unitario dado por $\,\theta \, = \, \displaystyle{\frac{\pi}{6}}\,$.  ¿Cuánto es $\,D_{\overrightarrow{u}}\, f(1, 2)\,$?
Solución

Usando la fórmula (2) 
\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
De donde

Ejemplo 3  
  
Calcule la derivada direccional   sien el punto     en la dirección  del
 vector   .
Solución

El vector gradiente de la función$\,f\,$esta dado por 
$\,\nabla f(x, y, z)\, = \, (\mbox{sen}(yz), xz\cos(yz), xy\cos(yz))\,$ 
evaluando en$\,P\,$, tenemos que $\,\nabla f(1, 3, 0)\, = \, (0, 0, 3)\,$. Por otro lado un vector unitario en la dirección de $\,\overrightarrow{v}\,$es: 

\begin{displaymath}\overrightarrow{u}\, = \, \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}} \,... ...ac{2}{\sqrt{6}}\, \overrightarrow{j}\, - \, \frac{1}{\sqrt{6}}}\end{displaymath}
Por tanto 
\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(1, 3, 0)\, = \, \nabla f(1, 3,0)\cdot... ... \, \ \frac{-1}{\sqrt{6}}\, \right)\, = \,- \sqrt{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}
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