jueves, 5 de mayo de 2016

Clase #6

Superficies Cuadráticas


Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.


 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

 
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$),$(0, \pm b, 0)$ y $ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z = k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z = 0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

$\bullet \;$ Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 

Figura 4. Cono elíptico

$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$son elipses 

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
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Figura 5. Hiperboloide de una hoja

$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
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