Cálculo Vectorial : 06/09/16

Derivadas Parciales

Definición

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si $z=f(x,y)$ , las primeras derivadas parciales de $f$ respecto de x e y son las funciones $f_x\;y\;f_y$ definidas como

$f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

$f_y(x,y)=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

siempre que el límite existe.

Demostración

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :

$f^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

ahora como tenemos la función $z=f(x,y)$ lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos $f(x,b)=h(x)$ aquí lo que hicimos fue fijar el valor de $y$ , y al hacer esto tenemos una función $h$ que depende sólo de $x$ .

Derivamos la función $h(x)$

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$

como $h(x)=f(x,b)$ entonces $h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x,b)$ y cambiamos la expresión anterior,

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Deltax}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,b)-f(x,b)}{\Delta x}$

Entonces tenemos que la derivada de la función $f(x,y)$ cuando fijamos $y$ y cambiamos $x$ es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x)

$\therefore f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$

Derivadas parciales de una función de dos variables

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

Notación

Dada $z=f(x,y),$ sus derivadas parciales $f_x,f_y$ se denotan por

$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=z_x=\frac{\partial z}{\partial x}$

$\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=z_y=\frac{\partial z}{\partial y}$

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto $(a,b)$ se denotan por

$\left . \frac{\partial z }{\partial x} \right |_{(a,b)}=f_x(a,b)$

$\left . \frac{\partial z }{\partial y} \right |_{(a,b)}=f_y(a,b)$

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales de una función de dos variables $z=f(x,y)$ tienen una interesante interpretación geométrica. Si $y=y_0,\;z=f(x,y_0)$ es la curva intersección de la superficie $z=f(x,y)$ con el plano $y=y_0$ .

Por tanto,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

da la pendiente de esa curva en el punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ . Notar que tanlo la cura como la recta tangente están en el plano $y=y_0$ . Análogamente,

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

da la pendiente de la curva intersección de $z=f(x,y)$ con el plano $x=x_0$ en $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de $\frac{\partial z}{\partial x}$ y $\frac{\partial z}{\partial y}$ en el punto $(x_0,y_o,z_0)$ dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Cálculo Vectorial

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jueves, 9 de junio de 2016

Clase #17