Clase #12

Triedro movil

Si   F: [ a, b ]  →  IR ⁿ  es una función diferenciable de clase C² en el intervalo dado y  F  describe una curva  C  tal que en cada punto de la curva existen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí , el vector tangente, el vector normal y el vector binormal

VECTOR TANGENTE UNITARIO

Definición. Sea C la curva descrita por F: [a ,b]→  IR ⁿ diferenciable y de clase C² en su dominio.

a) Si existe

 , entonces F’(t) se llama “Vector tangente a C” en el punto F(t); se denota por T(t), y

Si para algún to  elemento de [ a , b ] , de modo que  F´ (to )  = 0  entonces

    

Siempre que el límite exista .

b) La recta L_T que pasa por el punto F(t) y  tiene la dirección del vector tangente , se llama recta tangente a la curva C en el punto F(t); su ecuación es :

       L_T : P= F(t) + r F’(t) ; r  R

El vector T´ (t) es ortogonal  al vector  T (t) . A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le denomina vector normal a la  curva  C .

 VECTOR NORMAL Y VECTOR BINORMAL

Definición .- La recta que pasa por el punto F(t_o )  y tienen la dirección del vector T ´ (t)  se denomina recta normal   a la curva  C en el punto F(t_o ) .

 Definición .- El vector NORMAL PRINCIPAL  a la  curva  C en el punto F(t)   tienen la dirección del vector T´ (t) , o sea:

Gráficamente , el vector normal principal  se representa  siempre en el lado cóncavo de la curva   .

VECTOR BINORMAL

Definición ..-  El vector BINORMAL    es el vector  unitario perpendicular a los vectores tangente y normal principal :

                                                           B(t)  =  T(t)   x  N(t)

En consecuencia  en cada punto F(t) de la curva  C existen asociados los vectores  T ; N  y   B.  Estos vectores unitarios  mutuamente ortogonales  se llama TRIADA MOVIL  por que en cada punto de C forman un sistema de ejes rectangulares, como se ve en la figura a continuación .

La segunda derivada de F puede descomponerse  en  función de estos vectores.

PLANOS

Los vectores del triedro determinan en todo instante, tres planos notables:

• Plano osculador(determinado por T y N) 
  Recibe su nombre de la palabra latina osculum (= beso); pues es un plano que se aproxima a la curva como si la rozara dándole un beso.
• Plano rectificante (determinado por T y B) 
  La curvatura de la curva queda concentrada en la dirección del vector normal que es perpendicular al plano rectificante. Así, si proyectamos la curva sobre este plano,obtenemos una curva cuya curvatura en un punto es cero. Es decir, veremos ``casi'' una recta. De ahí el nombre que recibe.
• Plano normal (determinado por N y B) 
  Este plano es perpendicular (normal) a la curva. Observamos que la proyección de la curva sobre él siempre tiene punto singular.