Clase #13

• Curvas de nivel
  Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
  Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano
  x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
  Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.
  
  
  
  Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k ytomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))
  
  Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es 4.
  Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el planoxy.
  
  Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada por
  todos los pares (x, y) que cumplen:
  f (x, y) = x2 + y2 = 4.
  Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.
  A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel de la función.
  
  Así pues, podemos resumir:
  Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.
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