Funciones Vectoriales de Variable Real
Definición Una función
que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn se denomina función vectorial de variable real.
Simbólicamente;
F: I ⊂ IR ⇾IRn
t⇾ F(t)
La función F
asocia a cada número real t ∈ IR un y solo
un vector F(t) en IRn ; donde
F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t)
,…, fn(t) )
Cada fi es una función real de una variable real, t;
fi: Dom(fi)⊂ IR ⇾
IR ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n
t⇾fi(t)
Dom(fi) es el dominio de
la función real fi.
Las funciones fi son
llamadas funciones coordenadas o
componentes.
El dominio de F
se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus
funciones componentes. Es decir;
NOTA.-
El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido
Ejemplo 1. Sea la función
vectorial F : IR ⇾
IR3, tal que 
Sus
funciones componentes son: f1(t) =
t ; f2(t) = 
; f3(t)
= ln(4 – t ) , cuyos dominios son:
; f3(t)
= ln(4 – t ) , cuyos dominios son:
Dom(f1) = IR ; Dom(f2) = ]1 , + ∞[ ; Dom (f3)
= ]-∞
, 4 [
La
intersección de los dominios es ]1 ,4 [
= Dom(F)
Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 )
+ t (-1,-1,3 ) , t ∈
IR . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en IR3
que termina en la recta que tiene
dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).
F(t)
= ( 1 – t , 3-t , 3t) . Sus funciones
componentes son f1(t) = 1- t
; f2(t) = 3- t ; f3(t)
= 3t
Dom(f1)
= Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango
son todos los puntos de la recta L.
Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost ,
4 sent ) ; t ∈ [0, 2π
]
G
: [0, 2π ] ⇾
IR2
La
función G asocia a cada ángulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost , y = 4sent que pertenecen a la
circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4
Ejemplo 4. Graficar el rango de
F(t) = (t , t, t2 ) , para t∈ [-6,6]
En este caso es
x = t
= y → x = y que es la ecuación del plano diagonal perpendicular al plano
XY
z=t2 equivale a la ecuación
del cilindro parabólico z = x2.
La gráfica es la curva de intersección
entre el plano y =x con el el cilindro z = x2
Ejemplo 5.-Graficar
el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; t [0,8π]
La
función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que
x= sent , y = cost
, z = t
Este
gráfico representa el movimiento del electrón en un campo magnético.
