Clase #10

Derivación de funciones vectoriales

Definición. Sea  una trayectoria definida sobre el intervalo abierto I por

F=(f₁, f₂ ,…, f_n) , entonces:

1.      F es derivable en el punto  I , si y solo si existe el límite,

2.      F es “derivable” en el intervalo I si  y solo sí F es derivable en cada punto t que pertenece a I.

Teorema. Si  F es derivable en  , entonces F’(a) = ( f₁’(a), f₂’(a), f₃’(a),…, f_n’(a) )  y

Las propiedades de la derivada de funciones reales de una variable real se generalizan para los campos vectoriales; asì:

Ejemplo. La derivada de la función F(t) = ( e^tsent , cost , e^t) es

F’(t) = (e^tsent + e^tcost ,  -sent , e^t)

Definición.- Si C es una curva descrita por F y existe F’(t)  y F’(t)≠0 ,∀ t∈ domF, entonces F’(t) es un vector tangente a la curva en el punto F(t).

T: P = F(t₀) + k F’(t) ; k∈ R  es la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto F(t₀).

Integración de funciones vectoriales

Definición.- Una función vectorial F: R → Rⁿ es integrable cuando lo son todas sus componentes, se define :

PROPIEDADES

Ejemplo. La integral

Longitud de arco de curva

Una función vectorial F:[a,b] → Rⁿ es regular si F es de clase

Una curva regular admite alguna parametrización regular; lo mismo se puede asegurar para las curvas regulares `por trozos`.

Dada una curva C con vector de posición r(t), se define la longitud de arco de curva entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas  a la curva entre dichos puntos, en caso de existir. En este caso se dice que la curva es rectificable. Se precisa en la siguiente

Definición.  Si 𝒫 es el conjunto de todas las particiones que se pueden definir en el intervalo ; la curva C descrita por una función  F:[a,b] → Rⁿ  se dice que es rectificable si el conjunto { L_P / P∈ 𝒫 } tiene una cota superior.

Donde L_P es la longitud de la poligonal generada por la partición P, y

 Si C es una curva rectificable y r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización de C, entonces la longitud  L de la curva C es el supremo del conjunto  { L_P / P∈ 𝒫 }

TEOREMA  Si C es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es

Donde r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización regular de C.

Si una curva es regular a trozos , su longitud se calcula sumando las longitudes  de cada tramo regular 6.

Ejemplo. Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F(t) = ( t² , 2t )  ; t∈[0,1]