Clase #9

Operaciones con funciones vectoriales

Supongamos que las funciones F y G están definidas en el mismo intervalo I ⊂ IR

                        F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) )  ;             G(t) = ( g₁(t) , g₂(t) , g₃(t) ,…, g_n(t) )

Siendo las imágenes de F y G vectores en IRⁿ , resulta natural definir las siguientes operaciones:

1.Adicion de funciones 

            (F + G ) (t) = F(t) + G(t) = ( f₁(t) +g₁(t) , f₂(t) +g₂(t) , f₃(t) +g₃(t) ,…, f_n(t) + g_n(t) )

2.Multiplicación de un escalar por una función

            ( kF)(t) =k(F(t))  = (kf₁(t) , kf₂(t) , kf₃(t) ,…,kf_n(t) )

3.Multiplicación escalar o producto interno de funciones :

            (F⋅G)(t) = F(t) . G(t) = f₁(t) g₁(t) + f₂(t) g₂(t) + f₃(t) g₃(t) + ,…, +f_n(t) g_n(t)

4. Multiplicación vectorial (solo para n = 3 )

            ( F x G ) (t)  = F(t) x G(t)

                                 = (f₂(t) g₃(t) - f₃(t) g₂(t) , f₁(t) g₃(t) -f₃(t) g₁(t) , f₂(t) g₁(t) - f₁(t) g₂(t))

5. Multiplicación de una función real por una función vectorial     

    Sean    una función real y F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  una función vectorial de variable real

            ( φF)(t) =(φ(t)f₁(t) , φ(t)f₂(t) , φ(t)f₃(t) ,…,φ (t)f_n(t) )

Ejemplo 4

Sea  φ(t) = e ^t    ; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom (φ) = IR  ; Dom (F) = [ 0 , 2π]

La función    producto  φ(t)  F(t)  es

            φ(t)  F(t) = (e ^tcos t , e ^tsen t , e ^tt )        ; Dom (φ F ) = [ 0 , 2π]

Curvas en Rⁿ

Definición. Un camino o trayectoria en el espacio IRⁿ es una función vectorial, continua en un intervalo I contenido en IR

Definición. Se llama  curva en IRⁿ, al conjunto  C  formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino  F : [a, b ] ⇾IRⁿ .

                        C= { P∈IRⁿ / P = F(t) ;   t ∈ [ a , b ] }

Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partícula.

NOTA.

1.      La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a)  y F( b)  son los extremos de la curva.

2.      En la gráfica de una curva descrita por una función continua no puede haber interrupciones.

3.      Una curva es la intersección de dos superficies

4.      En casos de curvas es usual denotar la función con letras griegas con el propósito, más adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizará ambas notaciones de acuerdo a la situación.

Límites

El concepto de límite de una función  F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  es el mismo que para funciones reales de una variable real, solo cambian los espacios.

Definición. Sea F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  una función definida  en un intervalo abierto I de IR , sea t₀∈ I un punto de acumulación de I; el vector B es el límite de F cuando t tiende a t₀ , se escribe

Si y solo si dado cualquier ε>0 , existe un δ> 0  tal que

Teorema .Sea F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  , tal que F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) ) ; t₀∈ I , I es un intervalo abierto;  B = ( b₁ , b₂ ,b₃ , … ,b_n ). Se cumple:

OBSERVACION

El teorema afirma  que el límite de la función vectorial  F está completamente determinado por los límites de  sus funciones coordenadas ,esto permite escribir ,

Siempre que los límites del segundo miembro existan.

Teorema. Si F : R→Rⁿ , G: R→Rⁿ , t_o es un punto de acumulación de DomF∩DomG y si 

Continuidad

Teorema. Si las funciones F y G definidas de R en Rⁿ son continuas en el punto t_o entonces  las funciones F± G , F.G, F×G son continuas en t_o.  Si φ es una función real de una variable real es continua en t_o , entonces φF es continua en t_o .