Cálculo Vectorial : junio 2016

jueves, 30 de junio de 2016

martes, 28 de junio de 2016

jueves, 23 de junio de 2016

Clase #21

Aproximación lineal.

Tratamos en este apartado de justificar que para valores de “x” muy próximos a un número real “a” se tiene que:

Para ello veamos que es, desde el punto de vista geométrico, F(a) + F(a) (x-a) para una función dada F(x) derivable en el punto x = a.

Recordemos que la ecuación de una recta en R² que pasa por un punto (x₀, y₀) y tiene de pendiente “m” tenía la forma:

y-y₀ = m(x-x₀).

Sea el punto (a , F(a)) y sea m = F’(a) la pendiente de dicha función en el punto x = a. La ecuación de la recta será y – F(a) = F’(a) (x - a) es decir:

y = F(a) + F ’(a) (x - a)

con lo cual tenemos que la expresión anterior representa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x) en el punto x = a:

Por ejemplo, si consideramos la función:

F(x) = x³ – x² – 8x + 12

cuya gráfica en el intervalo [-4, 4] es:

y consideramos el punto x = 3, la ecuación de la tangente a la curva en dicho punto se obtendrá:

F(3) + F ’(3)(x – 3) = -33+13x

Su representación gráfica, junto con la función anterior es:

Claramente se observa como, en puntos cercanos a x =3, las gráficas de ambas funciones se confunden, es por ello por lo que podemos afirmar que:

siempre en puntos cercanos a x =3 (en otros puntos se observa como es falso).

Por lo tanto, F(3) + F '(3) (x-3) es la aproximación lineal de la función F(x) en un entorno del punto x=3.

Si llamamos x – a = h, nos queda:

a la expresión F’(a) h se le suele llamar diferencial de la función F en el punto “a” y se denota por:

Aproximación cuadrática.

Llamamos aproximación cuadrática de una función F(x) de clase 2 a:

La cual vamos a aplicar al mismo ejemplo del apartado anterior:

F(3) + F ’(3)(x – 3) + (1/2) F ’’(3) (x – 3)² = 39 – 35x + 8x²

Si realizamos la representación gráfica de esta función cuadrática y de la gráfica de la función obtenemos:

y en ella se observa que, en un entorno del punto x=3 ambas gráficas se confunden, siendo ésta una “mejor aproximación” de la función que en el caso de la aproximación lineal del apartado anterior.

Aproximación polinómica de orden superior de una función

En general, dada una función de clase k, podemos aproximarla:

expresión que se conoce como la fórmula de Taylor, y su significado ha quedado suficientemente claro en el desarrollo expuesto. Al último término del desarrollo le hemos llamado “Resto” y es una función de (x-a).

Cuantos más términos tenga la Fórmula de Taylor para una función dada, conseguiremos una mayor aproximación de la función en el punto dado, como vimos en el ejemplo anterior.

Ejemplo

Dada la función:

F(x) = Log(x)

Obtener una aproximación de ella en el entorno del número e:

a) De orden uno.

b) De orden cuatro.

Solución:

Para calcular la fórmula de Taylor hemos de conocer las sucesivas derivadas hasta el orden pedido, evaluadas en el punto en cuestión, en nuestro caso, e. Para el apartado a):

F(x) = Log(x) Þ F(e) = 1

F’(x) = 1/x Þ F’ (e) = 1/e

Por lo que el desarrollo de Taylor de orden uno resulta:

b) Para el desarrollo de Taylor de orden cuatro, hemos de calcular hasta la cuarta derivada:

Sustituyendo:

Ambas son aproximaciones de la función Log(x), pero la primera es mejor que la segunda. Gráficamente podemos observar este hecho; para lo cual representamos Log(x):

Y ahora representamos en la misma gráfica las aproximaciones de orden 1 (lineal) y la de orden 4:

Se observa como, en el entorno del número e ( = 2’71828...) ambas aproximaciones coinciden con la gráfica de la función, siendo la de orden 4 una mejor aproximación que la de orden 1, ya que en un entorno de e se aproxima mucho mejor.

martes, 21 de junio de 2016

Clase #20

Derivadas Parciales de Orden Superior

jueves, 16 de junio de 2016

Clase #19

Gradiente, Definición, Prepiedades, Ejercicios de wilson manobanda

martes, 14 de junio de 2016

Clase #18

Derivada Direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de $\,z\,$ en el punto $\,(x_{0},y_{0})\,$ en la dirección de un vector unitario arbitrario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ . Para esto consideramos la superficie $\,S\,$ con ecuación $\,z\, = \, f(x, y)\,$ (la gráfica de $\,f\,$ ) y sea $\,z_{0} = f(x_{0}, y_{0})\,$ . Entonces el punto $\,P = (x_{0}, y_{0},z_{0})\,$ está sobre $\,S\,$ . El plano vertical que pasa por el punto $\,P\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,T\,$ . La pendiente de la recta tangente $\,T\,$ a la curva $\,T\,$ en el punto $\,P\,$ es la tasa de cambio de $\,z\,$ en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ .

Figura 1: derivada direccional en P en la dirección de u

[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Si $\,Q = (x, y,z)\,$ es otro punto sobre la curva $\,T\,$ , y si $\,P'\,$ y $\,Q'\,$ son las proyecciones sobre el plano $\,XY\,$ de los vectores $\,P\,$ y $\,Q\,$ , entonces el vector $\,\overrightarrow{P'Q'}\,$ es paralelo al vector $\,\overrightarrow{u}\,$ , y por consiguiente

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

$\begin{displaymath}\overrightarrow{P'Q'}\, = \, h\overrightarrow{u}\, = \, (ha, hb)\end{displaymath}$

para algún escalar $\,h\,$ . Así pues,

$\,x - x_{0}\, = \, ha\Longrightarrow x\, = \, x_{0} + ha\,$

$\,y - y_{0}\, = \, hb\Longrightarrow y\, = \, y_{0} + hb\,$

y la razón de cambio está dada por

$\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\Delta z}{h}\, = \, \frac{z - z_{0}}{h}\, = \, \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\end{displaymath}$

y al tomar el límite cunado $\,h\longrightarrow 0\,$ obtenemos la tasa de cambio instantanea de $\,z\,$ (con respecto a la distancia) en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ , la cual se llama derivada direccional de $\,f\,$ en la dirección de $\,\overline{u}\,$ .

Definición (derivada direccional)

Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\,$ una función escalar y sean $\,P = \ (x_{0}, y_{0})\in D\,$ y $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ un vector unitario, entonces la derivada direccional de $\,f\,$ en $\,P = (x_{0}, y_{0})\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ , está dada por :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(P) & = & D_{\overr... ...f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si $\,\overrightarrow{u}\, = \, (1, 0)\,$ entonces $\,d_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{x}(P)\,$ y si $\,\overrightarrow{u}\, = \, (0, 1)D_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{y}(P)\,$ , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos.

Ejemplo 1

Calcule la derivada direccional de $\,f(x, y)\, = \, 4 - x^{2} - y^{2}\,$ en el punto $\,P\, = \, (1, 1)\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\, = \, \ \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\,$

Solución

Usando la definición (1), tenemos que :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(1, 1) & = &\displ... ...isplaystyle{\frac{h}{\sqrt{2}}}\right)^{2}}{h}}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

y usando la regla de L'Hôpital

$\begin{displaymath}\displaystyle{\lim_{{h}{\rightarrow}{0}} \frac{-4\left(1 +\di... ...{1}{\ \sqrt{2}}}}\, = \, -\frac{4}{\sqrt{2}}\, = \, -2\sqrt{2}}\end{displaymath}$

Esto nos dice que la razón de cambio de $\,z\,$ en $\,P\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ es $\,-2\sqrt{2}\,$ , es decir, que $\,z\,$ en esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situación.

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

[Ver en 3D - Jview]

Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de $\,n\,$ variables $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ .

Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa la siguiente fórmula.

	Teorema
	Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ una función escalar diferenciable en $\,D\,$ , entonces $\,f\,$ tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ y
	$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\cdot \overrightarrow{u}\, = \, f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b\end{displaymath}$	(2)

Observación: recuerde que la componente de $\,\overrightarrow{v}\,$ en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ es $\,\displaystyle{\frac{\overrightarrow{u}\cdot \ \overrightarrow{v}}{\vert \, u\, \vert}}\,$ , la cual es la longitud de la proyección vectorial de $\,\overrightarrow{v}\,$ sobre el vector unitario $$\,\overrightarrow{u}\displaystyle{\left(Proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarro...$ . Con lo cual la fórmula

$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\, \cdot\, \overrightarrow{u}\end{displaymath}$

nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente $\,\nabla f(P)\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ .

Ejemplo 2

Calcule la derivada direccional $\,D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\,$ si

$\begin{displaymath}f(x, y)\, = \, x^{3} - 3xy + 4y^{2}\end{displaymath}$

y $\,\overrightarrow{u}\,$ es el vector unitario dado por $\,\theta \, = \, \displaystyle{\frac{\pi}{6}}\,$ . ¿Cuánto es $\,D_{\overrightarrow{u}}\, f(1, 2)\,$ ?
Solución

Usando la fórmula (2)

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}$

De donde

Ejemplo 3

Calcule la derivada direccional		si		en el punto en la dirección del
vector .

Solución

El vector gradiente de la función $\,f\,$ esta dado por

$\,\nabla f(x, y, z)\, = \, (\mbox{sen}(yz), xz\cos(yz), xy\cos(yz))\,$

evaluando en $\,P\,$ , tenemos que $\,\nabla f(1, 3, 0)\, = \, (0, 0, 3)\,$ . Por otro lado un vector unitario en la dirección de $\,\overrightarrow{v}\,$ es:

$\begin{displaymath}\overrightarrow{u}\, = \, \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}} \,... ...ac{2}{\sqrt{6}}\, \overrightarrow{j}\, - \, \frac{1}{\sqrt{6}}}\end{displaymath}$

Por tanto

$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(1, 3, 0)\, = \, \nabla f(1, 3,0)\cdot... ... \, \ \frac{-1}{\sqrt{6}}\, \right)\, = \,- \sqrt{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}$

Cálculo Vectorial

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