Clase #13

• Curvas de nivel
  Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
  Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano
  x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
  Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.
  
  
  
  Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k ytomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))
  
  Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es 4.
  Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el planoxy.
  
  Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada por
  todos los pares (x, y) que cumplen:
  f (x, y) = x2 + y2 = 4.
  Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.
  A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel de la función.
  
  Así pues, podemos resumir:
  Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.
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Clase #12

Triedro movil

Si   F: [ a, b ]  →  IR ⁿ  es una función diferenciable de clase C² en el intervalo dado y  F  describe una curva  C  tal que en cada punto de la curva existen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí , el vector tangente, el vector normal y el vector binormal

VECTOR TANGENTE UNITARIO

Definición. Sea C la curva descrita por F: [a ,b]→  IR ⁿ diferenciable y de clase C² en su dominio.

a) Si existe

 , entonces F’(t) se llama “Vector tangente a C” en el punto F(t); se denota por T(t), y

Si para algún to  elemento de [ a , b ] , de modo que  F´ (to )  = 0  entonces

    

Siempre que el límite exista .

b) La recta L_T que pasa por el punto F(t) y  tiene la dirección del vector tangente , se llama recta tangente a la curva C en el punto F(t); su ecuación es :

       L_T : P= F(t) + r F’(t) ; r  R

El vector T´ (t) es ortogonal  al vector  T (t) . A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le denomina vector normal a la  curva  C .

 VECTOR NORMAL Y VECTOR BINORMAL

Definición .- La recta que pasa por el punto F(t_o )  y tienen la dirección del vector T ´ (t)  se denomina recta normal   a la curva  C en el punto F(t_o ) .

 Definición .- El vector NORMAL PRINCIPAL  a la  curva  C en el punto F(t)   tienen la dirección del vector T´ (t) , o sea:

Gráficamente , el vector normal principal  se representa  siempre en el lado cóncavo de la curva   .

VECTOR BINORMAL

Definición ..-  El vector BINORMAL    es el vector  unitario perpendicular a los vectores tangente y normal principal :

                                                           B(t)  =  T(t)   x  N(t)

En consecuencia  en cada punto F(t) de la curva  C existen asociados los vectores  T ; N  y   B.  Estos vectores unitarios  mutuamente ortogonales  se llama TRIADA MOVIL  por que en cada punto de C forman un sistema de ejes rectangulares, como se ve en la figura a continuación .

La segunda derivada de F puede descomponerse  en  función de estos vectores.

PLANOS

Los vectores del triedro determinan en todo instante, tres planos notables:

• Plano osculador(determinado por T y N) 
  Recibe su nombre de la palabra latina osculum (= beso); pues es un plano que se aproxima a la curva como si la rozara dándole un beso.
• Plano rectificante (determinado por T y B) 
  La curvatura de la curva queda concentrada en la dirección del vector normal que es perpendicular al plano rectificante. Así, si proyectamos la curva sobre este plano,obtenemos una curva cuya curvatura en un punto es cero. Es decir, veremos ``casi'' una recta. De ahí el nombre que recibe.
• Plano normal (determinado por N y B) 
  Este plano es perpendicular (normal) a la curva. Observamos que la proyección de la curva sobre él siempre tiene punto singular.

Clase #11

Clase #10

Derivación de funciones vectoriales

Definición. Sea  una trayectoria definida sobre el intervalo abierto I por

F=(f₁, f₂ ,…, f_n) , entonces:

1.      F es derivable en el punto  I , si y solo si existe el límite,

2.      F es “derivable” en el intervalo I si  y solo sí F es derivable en cada punto t que pertenece a I.

Teorema. Si  F es derivable en  , entonces F’(a) = ( f₁’(a), f₂’(a), f₃’(a),…, f_n’(a) )  y

Las propiedades de la derivada de funciones reales de una variable real se generalizan para los campos vectoriales; asì:

Ejemplo. La derivada de la función F(t) = ( e^tsent , cost , e^t) es

F’(t) = (e^tsent + e^tcost ,  -sent , e^t)

Definición.- Si C es una curva descrita por F y existe F’(t)  y F’(t)≠0 ,∀ t∈ domF, entonces F’(t) es un vector tangente a la curva en el punto F(t).

T: P = F(t₀) + k F’(t) ; k∈ R  es la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto F(t₀).

Integración de funciones vectoriales

Definición.- Una función vectorial F: R → Rⁿ es integrable cuando lo son todas sus componentes, se define :

PROPIEDADES

Ejemplo. La integral

Longitud de arco de curva

Una función vectorial F:[a,b] → Rⁿ es regular si F es de clase

Una curva regular admite alguna parametrización regular; lo mismo se puede asegurar para las curvas regulares `por trozos`.

Dada una curva C con vector de posición r(t), se define la longitud de arco de curva entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas  a la curva entre dichos puntos, en caso de existir. En este caso se dice que la curva es rectificable. Se precisa en la siguiente

Definición.  Si 𝒫 es el conjunto de todas las particiones que se pueden definir en el intervalo ; la curva C descrita por una función  F:[a,b] → Rⁿ  se dice que es rectificable si el conjunto { L_P / P∈ 𝒫 } tiene una cota superior.

Donde L_P es la longitud de la poligonal generada por la partición P, y

 Si C es una curva rectificable y r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización de C, entonces la longitud  L de la curva C es el supremo del conjunto  { L_P / P∈ 𝒫 }

TEOREMA  Si C es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es

Donde r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización regular de C.

Si una curva es regular a trozos , su longitud se calcula sumando las longitudes  de cada tramo regular 6.

Ejemplo. Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F(t) = ( t² , 2t )  ; t∈[0,1]