martes, 17 de mayo de 2016

Clase #9

Operaciones con funciones vectoriales


Supongamos que las funciones F y G están definidas en el mismo intervalo I ⊂ IR

                        F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) )  ;             G(t) = ( g1(t) , g2(t) , g3(t) ,…, gn(t) )

Siendo las imágenes de F y G vectores en IRn , resulta natural definir las siguientes operaciones:
1.Adicion de funciones 
            (F + G ) (t) = F(t) + G(t) = ( f1(t) +g1(t) , f2(t) +g2(t) , f3(t) +g3(t) ,…, fn(t) + gn(t) )
2.Multiplicación de un escalar por una función
            ( kF)(t) =k(F(t))  = (kf1(t) , kf2(t) , kf3(t) ,…,kfn(t) )
3.Multiplicación escalar o producto interno de funciones :
            (F⋅G)(t) = F(t) . G(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) + ,…, +fn(t) gn(t)
4. Multiplicación vectorial (solo para n = 3 )
            ( F x G ) (t)  = F(t) x G(t)
                                 = (f2(t) g3(t) - f3(t) g2(t) , f1(t) g3(t) -f3(t) g1(t) , f2(t) g1(t) - f1(t) g2(t))
5. Multiplicación de una función real por una función vectorial     
    Sean    una función real y F: I ⊂ IR ⇾IRn  una función vectorial de variable real
            ( φF)(t) =(φ(t)f1(t) , φ(t)f2(t) , φ(t)f3(t) ,…,φ (t)fn(t) )
Ejemplo 4
Sea  φ(t) = e t    ; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom (φ) = IR  ; Dom (F) = [ 0 , 2π]
La función    producto  φ(t)  F(t)  es
            φ(t)  F(t) = (e tcos t , e tsen t , e tt )        ; Dom (φ F ) = [ 0 , 2π]

Curvas en Rn

Definición. Un camino o trayectoria en el espacio IRn es una función vectorial, continua en un intervalo I contenido en IR
Definición. Se llama  curva en IRn, al conjunto  C  formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino  F : [a, b ] ⇾IRn .
                        C= { P∈IRn / P = F(t) ;   t ∈ [ a , b ] }
Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partícula.

NOTA.
1.      La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a)  y F( b)  son los extremos de la curva.
2.      En la gráfica de una curva descrita por una función continua no puede haber interrupciones.
3.      Una curva es la intersección de dos superficies
4.      En casos de curvas es usual denotar la función con letras griegas con el propósito, más adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizará ambas notaciones de acuerdo a la situación.

Límites

El concepto de límite de una función  F: I ⊂ IR ⇾IRn  es el mismo que para funciones reales de una variable real, solo cambian los espacios.
Definición. Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn  una función definida  en un intervalo abierto I de IR , sea t0∈ I un punto de acumulación de I; el vector B es el límite de F cuando t tiende a t0 , se escribe
Si y solo si dado cualquier ε>0 , existe un δ> 0  tal que
Teorema .Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn  , tal que F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) ; t0∈ I , I es un intervalo abierto;  B = ( b1 , b2 ,b3 , … ,bn ). Se cumple:

OBSERVACION
El teorema afirma  que el límite de la función vectorial  F está completamente determinado por los límites de  sus funciones coordenadas ,esto permite escribir ,
Siempre que los límites del segundo miembro existan.
Teorema. Si F : R→Rn , G: R→Rn , to es un punto de acumulación de DomF∩DomG y si 

Continuidad


Teorema. Si las funciones F y G definidas de R en Rn son continuas en el punto to entonces  las funciones F± G , F.G, F×G son continuas en to.  Si φ es una función real de una variable real es continua en to , entonces φF es continua en to .
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jueves, 12 de mayo de 2016

Clase #8

Funciones Vectoriales de Variable Real


Definición Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn  se denomina función vectorial de variable real.
Simbólicamente;
                                   F: I ⊂ IR ⇾IRn
                                               t⇾ F(t)
La función F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t)  en IRn ; donde
                                   F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) )
Cada fi  es una función real de una variable real, t;
                                   fi: Dom(fi)⊂ IR ⇾ IR     ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n
                                                           t⇾fi(t)
Dom(fi) es el dominio de la función real fi.
Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;
                                  
NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido
Ejemplo 1. Sea la función vectorial F : IR ⇾ IR3, tal que 
Sus funciones componentes son: f1(t) = t   ; f2(t)  =     ;   f3(t) = ln(4 – t ) , cuyos dominios son:
Dom(f1) = IR     ; Dom(f2) = ]1 , + ∞[     ; Dom (f3) = ]-∞ , 4 [
La intersección de los dominios es ]1 ,4 [  = Dom(F)
Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 )  , t ∈ IR . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en IR3 que termina en  la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).
F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t)  . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t  ; f2(t) = 3- t  ; f3(t) = 3t
Dom(f1) = Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la recta L.
Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost ,  4 sent )  ; t ∈ [0, 2π ]
                        G : [0, 2π ] ⇾ IR2
La función G asocia a cada ángulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost  , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4


Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t2 ) , para t∈ [-6,6]
En este caso es
x = t  = y → x = y que es la ecuación del plano diagonal perpendicular al plano XY
z=t2 equivale a la ecuación del cilindro parabólico z = x2.
La gráfica es la curva de intersección entre el plano y =x con el el cilindro z = x2
 Ejemplo 5.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; t [0,8π]
La función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que
            x= sent   , y = cost   ,   z = t
                                    
Este gráfico representa el movimiento del electrón en un campo magnético.
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martes, 10 de mayo de 2016

Clase #7

CÁLCULO VECTORIAL-EVALUACIÓN 1-I BIMESTRE

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jueves, 5 de mayo de 2016

Clase #6

Superficies Cuadráticas


Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.


 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

 
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$),$(0, \pm b, 0)$ y $ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z = k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z = 0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

$\bullet \;$ Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 

Figura 4. Cono elíptico

$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$son elipses 

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.
Figura 5. Hiperboloide de una hoja

$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
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