jueves, 12 de mayo de 2016

Clase #8

Funciones Vectoriales de Variable Real


Definición Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn  se denomina función vectorial de variable real.
Simbólicamente;
                                   F: I ⊂ IR ⇾IRn
                                               t⇾ F(t)
La función F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t)  en IRn ; donde
                                   F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) )
Cada fi  es una función real de una variable real, t;
                                   fi: Dom(fi)⊂ IR ⇾ IR     ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n
                                                           t⇾fi(t)
Dom(fi) es el dominio de la función real fi.
Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;
                                  
NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido
Ejemplo 1. Sea la función vectorial F : IR ⇾ IR3, tal que 
Sus funciones componentes son: f1(t) = t   ; f2(t)  =     ;   f3(t) = ln(4 – t ) , cuyos dominios son:
Dom(f1) = IR     ; Dom(f2) = ]1 , + ∞[     ; Dom (f3) = ]-∞ , 4 [
La intersección de los dominios es ]1 ,4 [  = Dom(F)
Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 )  , t ∈ IR . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en IR3 que termina en  la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).
F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t)  . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t  ; f2(t) = 3- t  ; f3(t) = 3t
Dom(f1) = Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la recta L.
Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost ,  4 sent )  ; t ∈ [0, 2π ]
                        G : [0, 2π ] ⇾ IR2
La función G asocia a cada ángulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost  , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4


Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t2 ) , para t∈ [-6,6]
En este caso es
x = t  = y → x = y que es la ecuación del plano diagonal perpendicular al plano XY
z=t2 equivale a la ecuación del cilindro parabólico z = x2.
La gráfica es la curva de intersección entre el plano y =x con el el cilindro z = x2
 Ejemplo 5.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; t [0,8π]
La función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que
            x= sent   , y = cost   ,   z = t
                                    
Este gráfico representa el movimiento del electrón en un campo magnético.
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martes, 10 de mayo de 2016

Clase #7

CÁLCULO VECTORIAL-EVALUACIÓN 1-I BIMESTRE

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jueves, 5 de mayo de 2016

Clase #6

Superficies Cuadráticas


Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.


 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

 
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$),$(0, \pm b, 0)$ y $ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z = k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z = 0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

$\bullet \;$ Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 

Figura 4. Cono elíptico

$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$son elipses 

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.
Figura 5. Hiperboloide de una hoja

$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
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martes, 3 de mayo de 2016

Clase #5

Ecuaciones de la Recta 


Ecuación vectorial de la recta


ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano,alineados con un punto P y con una dirección dada vector u.
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector vector director tiene igual dirección que vector u, luego es igual a vector umultiplicado por un escalar:
operación
igualdad
ecuación vectorial de la recta en el espacio

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
igualdad
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones para métricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
ecuación continua de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
ecuaciones implícitas de la recta
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Haz de Planos


haz de planos



Llamamos haz de planos de arista una recta r dada, al conjunto de los planos que contienen a dicha recta r. Es decir, es la recta donde cortan los planos como podemos ver en la siguiente imagen.
Supongamos que una recta viene dada por su ecuación implícita:
1
Hemos visto que para un plano π: A”x+B”y+C”z+D”=0 contenga a la recta r debe cumplirse que el rango de la matriz formada por las filas (A,B,C), (A’,B’,C’) (A”,B”,C”) tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada, formada por las filas (A,B,C,D), (A’,B’C’,D’) y la fila (A”,B”,C”,D”), este rango es 2. Por tanto, (A”,B”,C”,D”) es combinación lineal de los otros dos vectores. De esta manera obtenemos el haz de planos de arista la recta r: (Ax+By+Cz+D)+λ(A’x+B’y+C’z+D’)=0, con λ una constante real no nula.
Ejemplo: a) Halla la ecuación del haz de planos que contiene a la recta
2
b) Hallar la ecuación del plano correspondiente al haz anterior que pasa por el punto P(3,2,-3).
a) La ecuación del haz es: (2x+3y-z-9)+ λ(-x+2y+3z+2)=0.
b) Sustituyendo el punto en la ecuación del haz el punto, obtenemos que λ=1. Sustituyendo este valor en la ecuación del haz obtenemos el plano pedido: π: 2x+3y-z-9-x+2y+3z+2=0 → π: x+5y+2z-7=0.

Superficies Cuadráticas



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