Cálculo Vectorial

martes, 14 de junio de 2016

Clase #18

Derivada Direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de $\,z\,$ en el punto $\,(x_{0},y_{0})\,$ en la dirección de un vector unitario arbitrario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ . Para esto consideramos la superficie $\,S\,$ con ecuación $\,z\, = \, f(x, y)\,$ (la gráfica de $\,f\,$ ) y sea $\,z_{0} = f(x_{0}, y_{0})\,$ . Entonces el punto $\,P = (x_{0}, y_{0},z_{0})\,$ está sobre $\,S\,$ . El plano vertical que pasa por el punto $\,P\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,T\,$ . La pendiente de la recta tangente $\,T\,$ a la curva $\,T\,$ en el punto $\,P\,$ es la tasa de cambio de $\,z\,$ en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ .

Figura 1: derivada direccional en P en la dirección de u

[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Si $\,Q = (x, y,z)\,$ es otro punto sobre la curva $\,T\,$ , y si $\,P'\,$ y $\,Q'\,$ son las proyecciones sobre el plano $\,XY\,$ de los vectores $\,P\,$ y $\,Q\,$ , entonces el vector $\,\overrightarrow{P'Q'}\,$ es paralelo al vector $\,\overrightarrow{u}\,$ , y por consiguiente

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

$\begin{displaymath}\overrightarrow{P'Q'}\, = \, h\overrightarrow{u}\, = \, (ha, hb)\end{displaymath}$

para algún escalar $\,h\,$ . Así pues,

$\,x - x_{0}\, = \, ha\Longrightarrow x\, = \, x_{0} + ha\,$

$\,y - y_{0}\, = \, hb\Longrightarrow y\, = \, y_{0} + hb\,$

y la razón de cambio está dada por

$\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\Delta z}{h}\, = \, \frac{z - z_{0}}{h}\, = \, \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\end{displaymath}$

y al tomar el límite cunado $\,h\longrightarrow 0\,$ obtenemos la tasa de cambio instantanea de $\,z\,$ (con respecto a la distancia) en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ , la cual se llama derivada direccional de $\,f\,$ en la dirección de $\,\overline{u}\,$ .

Definición (derivada direccional)

Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\,$ una función escalar y sean $\,P = \ (x_{0}, y_{0})\in D\,$ y $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ un vector unitario, entonces la derivada direccional de $\,f\,$ en $\,P = (x_{0}, y_{0})\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ , está dada por :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(P) & = & D_{\overr... ...f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si $\,\overrightarrow{u}\, = \, (1, 0)\,$ entonces $\,d_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{x}(P)\,$ y si $\,\overrightarrow{u}\, = \, (0, 1)D_{\overrightarrow{u}}f(P)\, = \, f_{y}(P)\,$ , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos.

Ejemplo 1

Calcule la derivada direccional de $\,f(x, y)\, = \, 4 - x^{2} - y^{2}\,$ en el punto $\,P\, = \, (1, 1)\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\, = \, \ \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\,$

Solución

Usando la definición (1), tenemos que :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} D_{\overrightarrow{u}}f(1, 1) & = &\displ... ...isplaystyle{\frac{h}{\sqrt{2}}}\right)^{2}}{h}}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

y usando la regla de L'Hôpital

$\begin{displaymath}\displaystyle{\lim_{{h}{\rightarrow}{0}} \frac{-4\left(1 +\di... ...{1}{\ \sqrt{2}}}}\, = \, -\frac{4}{\sqrt{2}}\, = \, -2\sqrt{2}}\end{displaymath}$

Esto nos dice que la razón de cambio de $\,z\,$ en $\,P\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ es $\,-2\sqrt{2}\,$ , es decir, que $\,z\,$ en esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situación.

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

[Ver en 3D - Jview]

Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de $\,n\,$ variables $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ .

Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa la siguiente fórmula.

	Teorema
	Sea $\,f : D\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ una función escalar diferenciable en $\,D\,$ , entonces $\,f\,$ tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$ y
	$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\cdot \overrightarrow{u}\, = \, f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b\end{displaymath}$	(2)

Observación: recuerde que la componente de $\,\overrightarrow{v}\,$ en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$ es $\,\displaystyle{\frac{\overrightarrow{u}\cdot \ \overrightarrow{v}}{\vert \, u\, \vert}}\,$ , la cual es la longitud de la proyección vectorial de $\,\overrightarrow{v}\,$ sobre el vector unitario $$\,\overrightarrow{u}\displaystyle{\left(Proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarro...$ . Con lo cual la fórmula

$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x, y)\, \cdot\, \overrightarrow{u}\end{displaymath}$

nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente $\,\nabla f(P)\,$ en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ .

Ejemplo 2

Calcule la derivada direccional $\,D_{\overrightarrow{u}}f(x, y)\,$ si

$\begin{displaymath}f(x, y)\, = \, x^{3} - 3xy + 4y^{2}\end{displaymath}$

y $\,\overrightarrow{u}\,$ es el vector unitario dado por $\,\theta \, = \, \displaystyle{\frac{\pi}{6}}\,$ . ¿Cuánto es $\,D_{\overrightarrow{u}}\, f(1, 2)\,$ ?
Solución

Usando la fórmula (2)

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}$

De donde

Ejemplo 3

Calcule la derivada direccional		si		en el punto en la dirección del
vector .

Solución

El vector gradiente de la función $\,f\,$ esta dado por

$\,\nabla f(x, y, z)\, = \, (\mbox{sen}(yz), xz\cos(yz), xy\cos(yz))\,$

evaluando en $\,P\,$ , tenemos que $\,\nabla f(1, 3, 0)\, = \, (0, 0, 3)\,$ . Por otro lado un vector unitario en la dirección de $\,\overrightarrow{v}\,$ es:

$\begin{displaymath}\overrightarrow{u}\, = \, \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}} \,... ...ac{2}{\sqrt{6}}\, \overrightarrow{j}\, - \, \frac{1}{\sqrt{6}}}\end{displaymath}$

Por tanto

$\begin{displaymath}D_{\overrightarrow{u}}f(1, 3, 0)\, = \, \nabla f(1, 3,0)\cdot... ... \, \ \frac{-1}{\sqrt{6}}\, \right)\, = \,- \sqrt{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}$

jueves, 9 de junio de 2016

Clase #17

Derivadas Parciales

Definición

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

, las primeras derivadas parciales de

respecto de x e y son las funciones $f_x\;y\;f_y$ definidas como

$f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

$f_y(x,y)=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

siempre que el límite existe.

Demostración

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :

$f^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

ahora como tenemos la función z=f(x,y)

lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos f(x,b)=h(x)

aquí lo que hicimos fue fijar el valor de

, y al hacer esto tenemos una función

que depende sólo de

Derivamos la función h(x)

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$

como

entonces $h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x,b)$ y cambiamos la expresión anterior,

$h^{'}(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Deltax}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,b)-f(x,b)}{\Delta x}$

Entonces tenemos que la derivada de la función f(x,y)

cuando fijamos

y cambiamos

es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x)

$\therefore f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$

Derivadas parciales de una función de dos variables

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.