Clase #17

Derivadas Parciales 

Definición

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. 

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si , las primeras derivadas parciales de  respecto de x e y son las funciones  definidas como 

siempre que el límite existe.

Demostración

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como : 

ahora como tenemos la función  lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos  aquí lo que hicimos fue fijar el valor de , y al hacer esto tenemos una función  que depende sólo de .

Derivamos la función  

como  entonces  y cambiamos la expresión anterior, 

Entonces tenemos que la derivada de la función  cuando fijamos  y cambiamos  es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x) 

Derivadas parciales de una función de dos variables

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

Notación

Dada  sus derivadas parciales  se denotan por 

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto  se denotan por 

y

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales de una función de dos variables  tienen una interesante interpretación geométrica. Si  es la curva intersección de la superficie  con el plano .

Por tanto,

da la pendiente de esa curva en el punto . Notar que tanlo la cura como la recta tangente están en el plano . Análogamente,

da la pendiente de la curva intersección de  con el plano  en  como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de  y  en el punto  dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Clase #16

Ejercicios de Límites

Clase #15

Evaluación 2-I Bimestre

Clase #14

Límites

Escribimos

lim x→a f(x) = L		El límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L
o igualmente
f(x) → L cuando x → a

para decir que f(x) se acerca a el número L a medida que x se acerca a (pero no está igual a) el número a desde ambos lados.

Una manera más precisa a formular la definición es como sigue:

Se puede hacer que f(x) sea tan cercana a L como queremos si hacemos que x se acerque lo suficiente a a.

lim x→a+ f(x) = L

o

f(x) → L cuando x → a+

y

lim x→a- f(x) = L

o

f(x) → L cuando x → a-

para significar que f(x) → L cuando x se acerca a a por la derecha (o por arriba), o por la izquierda (o por abajo), respectivamente. Para que lim_x → a f(x) existe, es necesario que los límites por la izquierda y la derecha existen y ser iguales.

Escribimos

lim x→+∞

f(x)

=

L

y

lim x→-∞

f(x)

=

L

para significar que f(x) → L cuando x sea arbitrariamente grande, o que sea un número negativo arbitrariamente grande, respectivamente.

Funciones Continuas

Una función f es continua a a si lim_x → a f(x) existe, y es igual a f(a).

La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. El enfoque algebraico a límites es basado en el hecho que todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios.

Ejemplo:

La función f(x) = 3x²-4x+2 es de forma cerrada, y entonces continua a cada punto de su dominio (todos los números reales).

La función

g(x)

=

4x2+1 x - 3

es también de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (todas núeros reales excepto 3).

Por otro lado, la función

h(x) = -1 si -4 ≤ x < -1 x si -1 ≤ x ≤ 1 x2-1 si  1 < x ≤ 2

no está de forma cerrada y en realidad es discontinua a x = 1. 

Clase #13

• Curvas de nivel
  Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
  Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano
  x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
  Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.
  
  
  
  Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k ytomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))
  
  Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es 4.
  Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el planoxy.
  
  Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada por
  todos los pares (x, y) que cumplen:
  f (x, y) = x2 + y2 = 4.
  Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.
  A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel de la función.
  
  Así pues, podemos resumir:
  Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.
• 
  

Clase #12

Triedro movil

Si   F: [ a, b ]  →  IR ⁿ  es una función diferenciable de clase C² en el intervalo dado y  F  describe una curva  C  tal que en cada punto de la curva existen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí , el vector tangente, el vector normal y el vector binormal

VECTOR TANGENTE UNITARIO

Definición. Sea C la curva descrita por F: [a ,b]→  IR ⁿ diferenciable y de clase C² en su dominio.

a) Si existe

 , entonces F’(t) se llama “Vector tangente a C” en el punto F(t); se denota por T(t), y

Si para algún to  elemento de [ a , b ] , de modo que  F´ (to )  = 0  entonces

    

Siempre que el límite exista .

b) La recta L_T que pasa por el punto F(t) y  tiene la dirección del vector tangente , se llama recta tangente a la curva C en el punto F(t); su ecuación es :

       L_T : P= F(t) + r F’(t) ; r  R

El vector T´ (t) es ortogonal  al vector  T (t) . A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le denomina vector normal a la  curva  C .

 VECTOR NORMAL Y VECTOR BINORMAL

Definición .- La recta que pasa por el punto F(t_o )  y tienen la dirección del vector T ´ (t)  se denomina recta normal   a la curva  C en el punto F(t_o ) .

 Definición .- El vector NORMAL PRINCIPAL  a la  curva  C en el punto F(t)   tienen la dirección del vector T´ (t) , o sea:

Gráficamente , el vector normal principal  se representa  siempre en el lado cóncavo de la curva   .

VECTOR BINORMAL

Definición ..-  El vector BINORMAL    es el vector  unitario perpendicular a los vectores tangente y normal principal :

                                                           B(t)  =  T(t)   x  N(t)

En consecuencia  en cada punto F(t) de la curva  C existen asociados los vectores  T ; N  y   B.  Estos vectores unitarios  mutuamente ortogonales  se llama TRIADA MOVIL  por que en cada punto de C forman un sistema de ejes rectangulares, como se ve en la figura a continuación .

La segunda derivada de F puede descomponerse  en  función de estos vectores.

PLANOS

Los vectores del triedro determinan en todo instante, tres planos notables:

• Plano osculador(determinado por T y N) 
  Recibe su nombre de la palabra latina osculum (= beso); pues es un plano que se aproxima a la curva como si la rozara dándole un beso.
• Plano rectificante (determinado por T y B) 
  La curvatura de la curva queda concentrada en la dirección del vector normal que es perpendicular al plano rectificante. Así, si proyectamos la curva sobre este plano,obtenemos una curva cuya curvatura en un punto es cero. Es decir, veremos ``casi'' una recta. De ahí el nombre que recibe.
• Plano normal (determinado por N y B) 
  Este plano es perpendicular (normal) a la curva. Observamos que la proyección de la curva sobre él siempre tiene punto singular.