Clase #10

Derivación de funciones vectoriales

Definición. Sea  una trayectoria definida sobre el intervalo abierto I por

F=(f₁, f₂ ,…, f_n) , entonces:

1.      F es derivable en el punto  I , si y solo si existe el límite,

2.      F es “derivable” en el intervalo I si  y solo sí F es derivable en cada punto t que pertenece a I.

Teorema. Si  F es derivable en  , entonces F’(a) = ( f₁’(a), f₂’(a), f₃’(a),…, f_n’(a) )  y

Las propiedades de la derivada de funciones reales de una variable real se generalizan para los campos vectoriales; asì:

Ejemplo. La derivada de la función F(t) = ( e^tsent , cost , e^t) es

F’(t) = (e^tsent + e^tcost ,  -sent , e^t)

Definición.- Si C es una curva descrita por F y existe F’(t)  y F’(t)≠0 ,∀ t∈ domF, entonces F’(t) es un vector tangente a la curva en el punto F(t).

T: P = F(t₀) + k F’(t) ; k∈ R  es la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto F(t₀).

Integración de funciones vectoriales

Definición.- Una función vectorial F: R → Rⁿ es integrable cuando lo son todas sus componentes, se define :

PROPIEDADES

Ejemplo. La integral

Longitud de arco de curva

Una función vectorial F:[a,b] → Rⁿ es regular si F es de clase

Una curva regular admite alguna parametrización regular; lo mismo se puede asegurar para las curvas regulares `por trozos`.

Dada una curva C con vector de posición r(t), se define la longitud de arco de curva entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas  a la curva entre dichos puntos, en caso de existir. En este caso se dice que la curva es rectificable. Se precisa en la siguiente

Definición.  Si 𝒫 es el conjunto de todas las particiones que se pueden definir en el intervalo ; la curva C descrita por una función  F:[a,b] → Rⁿ  se dice que es rectificable si el conjunto { L_P / P∈ 𝒫 } tiene una cota superior.

Donde L_P es la longitud de la poligonal generada por la partición P, y

 Si C es una curva rectificable y r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización de C, entonces la longitud  L de la curva C es el supremo del conjunto  { L_P / P∈ 𝒫 }

TEOREMA  Si C es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es

Donde r:[a,b] → Rⁿ  es una parametrización regular de C.

Si una curva es regular a trozos , su longitud se calcula sumando las longitudes  de cada tramo regular 6.

Ejemplo. Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F(t) = ( t² , 2t )  ; t∈[0,1]

Clase #9

Operaciones con funciones vectoriales

Supongamos que las funciones F y G están definidas en el mismo intervalo I ⊂ IR

                        F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) )  ;             G(t) = ( g₁(t) , g₂(t) , g₃(t) ,…, g_n(t) )

Siendo las imágenes de F y G vectores en IRⁿ , resulta natural definir las siguientes operaciones:

1.Adicion de funciones 

            (F + G ) (t) = F(t) + G(t) = ( f₁(t) +g₁(t) , f₂(t) +g₂(t) , f₃(t) +g₃(t) ,…, f_n(t) + g_n(t) )

2.Multiplicación de un escalar por una función

            ( kF)(t) =k(F(t))  = (kf₁(t) , kf₂(t) , kf₃(t) ,…,kf_n(t) )

3.Multiplicación escalar o producto interno de funciones :

            (F⋅G)(t) = F(t) . G(t) = f₁(t) g₁(t) + f₂(t) g₂(t) + f₃(t) g₃(t) + ,…, +f_n(t) g_n(t)

4. Multiplicación vectorial (solo para n = 3 )

            ( F x G ) (t)  = F(t) x G(t)

                                 = (f₂(t) g₃(t) - f₃(t) g₂(t) , f₁(t) g₃(t) -f₃(t) g₁(t) , f₂(t) g₁(t) - f₁(t) g₂(t))

5. Multiplicación de una función real por una función vectorial     

    Sean    una función real y F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  una función vectorial de variable real

            ( φF)(t) =(φ(t)f₁(t) , φ(t)f₂(t) , φ(t)f₃(t) ,…,φ (t)f_n(t) )

Ejemplo 4

Sea  φ(t) = e ^t    ; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom (φ) = IR  ; Dom (F) = [ 0 , 2π]

La función    producto  φ(t)  F(t)  es

            φ(t)  F(t) = (e ^tcos t , e ^tsen t , e ^tt )        ; Dom (φ F ) = [ 0 , 2π]

Curvas en Rⁿ

Definición. Un camino o trayectoria en el espacio IRⁿ es una función vectorial, continua en un intervalo I contenido en IR

Definición. Se llama  curva en IRⁿ, al conjunto  C  formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino  F : [a, b ] ⇾IRⁿ .

                        C= { P∈IRⁿ / P = F(t) ;   t ∈ [ a , b ] }

Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partícula.

NOTA.

1.      La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a)  y F( b)  son los extremos de la curva.

2.      En la gráfica de una curva descrita por una función continua no puede haber interrupciones.

3.      Una curva es la intersección de dos superficies

4.      En casos de curvas es usual denotar la función con letras griegas con el propósito, más adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizará ambas notaciones de acuerdo a la situación.

Límites

El concepto de límite de una función  F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  es el mismo que para funciones reales de una variable real, solo cambian los espacios.

Definición. Sea F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  una función definida  en un intervalo abierto I de IR , sea t₀∈ I un punto de acumulación de I; el vector B es el límite de F cuando t tiende a t₀ , se escribe

Si y solo si dado cualquier ε>0 , existe un δ> 0  tal que

Teorema .Sea F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ  , tal que F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) ) ; t₀∈ I , I es un intervalo abierto;  B = ( b₁ , b₂ ,b₃ , … ,b_n ). Se cumple:

OBSERVACION

El teorema afirma  que el límite de la función vectorial  F está completamente determinado por los límites de  sus funciones coordenadas ,esto permite escribir ,

Siempre que los límites del segundo miembro existan.

Teorema. Si F : R→Rⁿ , G: R→Rⁿ , t_o es un punto de acumulación de DomF∩DomG y si 

Continuidad

Teorema. Si las funciones F y G definidas de R en Rⁿ son continuas en el punto t_o entonces  las funciones F± G , F.G, F×G son continuas en t_o.  Si φ es una función real de una variable real es continua en t_o , entonces φF es continua en t_o .

Clase #8

Funciones Vectoriales de Variable Real

Definición Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRⁿ  se denomina función vectorial de variable real.

Simbólicamente;

                                   F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ

                                               t⇾ F(t)

La función F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t)  en IRⁿ ; donde

                                   F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) )

Cada f_i  es una función real de una variable real, t;

                                   f_i: Dom(f_i)⊂ IR ⇾ IR     ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n

                                                           t⇾f_i(t)

Dom(f_i) es el dominio de la función real f_i.

Las funciones f_i son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;

                                  

NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido

Ejemplo 1. Sea la función vectorial F : IR ⇾ IR³, tal que 

Sus funciones componentes son: f₁(t) = t   ; f₂(t)  =     ;   f₃(t) = ln(4 – t ) , cuyos dominios son:

Dom(f₁) = IR     ; Dom(f₂) = ]1 , + ∞[     ; Dom (f₃) = ]-∞ , 4 [

La intersección de los dominios es ]1 ,4 [  = Dom(F)

Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 )  , t ∈ IR . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en IR³ que termina en  la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).

F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t)  . Sus funciones componentes son f₁(t) = 1- t  ; f₂(t) = 3- t  ; f₃(t) = 3t

Dom(f₁) = Dom(f₂) = Dom(f₃) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la recta L.

Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost ,  4 sent )  ; t ∈ [0, 2π ]

                        G : [0, 2π ] ⇾ IR²

La función G asocia a cada ángulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost  , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4

Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t² ) , para t∈ [-6,6]

En este caso es

x = t  = y → x = y que es la ecuación del plano diagonal perpendicular al plano XY

z=t² equivale a la ecuación del cilindro parabólico z = x².

La gráfica es la curva de intersección entre el plano y =x con el el cilindro z = x²

 Ejemplo 5.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; t [0,8π]

La función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que

            x= sent   , y = cost   ,   z = t

                                    

Este gráfico representa el movimiento del electrón en un campo magnético.