jueves, 5 de mayo de 2016

Clase #6

Superficies Cuadráticas


Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.


 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

 
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$),$(0, \pm b, 0)$ y $ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z = k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z = 0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

$\bullet \;$ Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 

Figura 4. Cono elíptico

$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$son elipses 

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.
Figura 5. Hiperboloide de una hoja

$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
Publicado por en No hay comentarios:

martes, 3 de mayo de 2016

Clase #5

Ecuaciones de la Recta 


Ecuación vectorial de la recta


ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano,alineados con un punto P y con una dirección dada vector u.
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector vector director tiene igual dirección que vector u, luego es igual a vector umultiplicado por un escalar:
operación
igualdad
ecuación vectorial de la recta en el espacio

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
igualdad
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones para métricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
ecuación continua de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
ecuaciones implícitas de la recta
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Haz de Planos


haz de planos



Llamamos haz de planos de arista una recta r dada, al conjunto de los planos que contienen a dicha recta r. Es decir, es la recta donde cortan los planos como podemos ver en la siguiente imagen.
Supongamos que una recta viene dada por su ecuación implícita:
1
Hemos visto que para un plano π: A”x+B”y+C”z+D”=0 contenga a la recta r debe cumplirse que el rango de la matriz formada por las filas (A,B,C), (A’,B’,C’) (A”,B”,C”) tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada, formada por las filas (A,B,C,D), (A’,B’C’,D’) y la fila (A”,B”,C”,D”), este rango es 2. Por tanto, (A”,B”,C”,D”) es combinación lineal de los otros dos vectores. De esta manera obtenemos el haz de planos de arista la recta r: (Ax+By+Cz+D)+λ(A’x+B’y+C’z+D’)=0, con λ una constante real no nula.
Ejemplo: a) Halla la ecuación del haz de planos que contiene a la recta
2
b) Hallar la ecuación del plano correspondiente al haz anterior que pasa por el punto P(3,2,-3).
a) La ecuación del haz es: (2x+3y-z-9)+ λ(-x+2y+3z+2)=0.
b) Sustituyendo el punto en la ecuación del haz el punto, obtenemos que λ=1. Sustituyendo este valor en la ecuación del haz obtenemos el plano pedido: π: 2x+3y-z-9-x+2y+3z+2=0 → π: x+5y+2z-7=0.

Superficies Cuadráticas



Publicado por en No hay comentarios:

jueves, 28 de abril de 2016

Clase #4

Normalización de la ecuación general del plano.

Siendo que:
Ax + By + Cz + D = 0
$$x\cos { \alpha \quad  } + y\cos { \beta \quad } +  z\cos { \gamma }  -\quad \rho \quad =\quad 0$$

u lo multiplicamos por la ecuación general y va a ser nuestro factor normalizante.
Obtenemos la siguiente fórmula:

$$u\quad =\quad \pm \frac { 1 }{ \sqrt { { A }^{ 2 }+B^{ 2 }+C^{ 2 } }  } $$

Donde el signo del factor normalizante debe ser opuesto al signo de D en la ecuación.

Desviación de un punto respecto de un plano

- d es positiva cuando el punto P y el origen de coordenadas están en lados opuestos al plano.
- d es negativa cuando el punto P debajo del plano y el origen de coordenadas están en el mismo lado del plano.

Distancia de un punto al plano

$$d\quad =\quad \frac { x1A\quad +\quad y1B\quad +\quad z1C\quad +D }{ \sqrt { { A }^{ 2 }+B^{ 2 }+C^{ 2 } }  } $$

Ecuación de un plano dado 3 puntos

$$(\overrightarrow { r } -\overrightarrow { r1 } )\quad \bullet \quad ((\overrightarrow { r2 } -\overrightarrow { r1 } )\quad x\quad (\overrightarrow { r3 } -\overrightarrow { r1 } ))\quad =\quad 0$$
Observación:
Si el producto mixto es igual a cero, entonces los 3 vectores involucrados son coplanares.
El producto misxto, geométricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores involucrados.

Volumen de un paralelepípedo


El volumen en general es el área de la base por la altura, siendo el volumen de la base el módulo del producto cruz de los vectores que definen los lados de la base.

$$h\quad =\quad \left| \overrightarrow { C }  \right| \bullet \quad \sin { \alpha  } $$
$$ V\quad =\quad \overrightarrow { A } x\overrightarrow { B } \bullet \overrightarrow { C } $$











Publicado por en No hay comentarios:
Suscribirse a: Entradas (Atom)